概述

单目相机通常无法进行尺寸测量，要么使用远心镜头，通过近似正投影的方式来获取轮廓，进行一维测量。

而本文提出了一种基于单目相机的旋转体体积测量方法，使用普通相机镜头就可以实现。整个测量过程如下：

• 对单目相机进行标定
• 将旋转体放置在平面上（平面形式包括但不限于标定板、Aruco 编码块等，平面上必须要有可以提前识别出二维坐标和三维坐标的图案）
• 相机从侧面拍摄旋转体，要求可以拍到上顶面（全部可见）、和下底面（部分可见）
• 算法调用，输出体积（圆柱体输出半径和高度，长方体输出长宽高）

原理

以圆柱体为例：

如上图所示，圆柱体立于平面1上，平面1上放置一个 aruco 编码块，相机侧拍圆柱体，可看到圆柱顶面完整轮廓以及底面部分轮廓。

步骤1：相机标定。通过相机标定获得相机内参 $K$。

步骤2：平面1到相机的 $RT$ 求解。 平面1上的 aruco 编码块四个角点可检测到，同时其边长已知。假设为 $w$ ，那么四个角点的三维坐标可以表示为$ (0,0,0)$ 、$(0,w,0)$ 、$(w,w,0)$、$(w,0,0)$ 。于是可以通过 PNP 计算出平面1到相机的 $[R_1,T_1]$。

**步骤3：提取椭圆轮廓。**提取图像中轮廓，并筛选得到底面轮廓 $s_1$ 和顶面轮廓 $s_2$。

步骤4：底面轮廓三维重建和拟合圆。 在 aruco 所建立的世界坐标系下，底面轮廓 $S_1$ 的三维坐标 $Z=0$，再结合步骤1中得到的相机内参 $K$、步骤2 中的 $[R_1,T_1]$ 可以重建出底面轮廓 $S_1$ ，同时可以拟合圆得到直径 $D_1$ 。

步骤5：母线反投影。 在底面轮廓 $S_1$ 拟合出的圆上，均匀选取 6 个点，记作 $A_1,\cdots ,A_6$ 。由于圆柱体母线垂直于 $Z=0$ 平面，那么将 $A_1,\cdots ,A_6$ 这几个点的 $Z$ 坐标适当增大到某个值 $Z_0$ ，得到 $T_1,\cdots ,T_6$ 。此时将 $A_1,\cdots ,A_6$ 与 $T_1,\cdots ,T_6$ 利用相机内参 $K$ 计算其对应的二维投影点（图像上）$a_1,\cdots ,t_6$ 。那么此时母线 $A_i{T}_i(i=1,2,\cdots ,6)$ 投影图像上得到的直线为 $a_i{t}_i$ 。

步骤6：顶面轮廓二维点和三维点计算。 图像上母线 $a_i{t}_i$ 与顶面轮廓相交于 $b_i$ ，那么同理在空间上，母线 $A_i{T}_i$ 与顶面轮廓相交于 $B_i$，于是根据母线垂直于 $Z=0$ 平面可知，$A_i$ 和 $B_i$ 的横纵坐标都应该相等。因此 6 条母线可以得到顶面轮廓上的 6 对 二维和三维点 $b_i,B_i(i=1,\cdots ,6)$ 。

步骤7：平面2到相机的 $RT$ 求解。 步骤6 得到的三维坐标 $B_i$ 可以认为其直接落在平面2上，令世界坐标系在平面2上，所有$b_i$ 的 $Z$ 坐标都为 0，而通过步骤6母线传递的横纵坐标仍然可保持不变。那么同步骤2类似，可利用二维和三维点 $b_i,B_i(i=1,\cdots ,6)$ 通过 PNP 计算出平面2到相机的 $[R_2,T_2]$。

步骤8：顶面轮廓三维重建和拟合圆。 顶面轮廓 $S_2$ 的三维坐标 $Z=0$，再结合步骤1中得到的相机内参 $K$、步骤6 中的 $[R_2,T_2]$ 可以重建出底面轮廓 $S_2$ ，同时可以拟合圆得到直径 $D_2$ 。

步骤9：圆柱直径计算。 由于底面只有部分轮廓，拟合圆直径可能存在偏差，而顶面轮廓重建经历了前面若干步骤传递了一些误差，因此为了平衡误差，最终圆柱的直径 $D=\frac{D_1+D_2}{2}$ 。

步骤10：圆柱高度计算。 平面1和平面2到相机的 $RT$ 都已知，那么相机光心到平面1和平面2的距离都可以计算出来。将光心转换到平面1和平面2所在的世界坐标系下，其 $Z$ 值即为高度，分别记作 $H_1$ 和 $H_2$ ，那么根据这两个面平面，圆柱高度可表示为 $H=|H1-H2|$ 。

这套流程中最巧妙的地方在于利用母线将底面的坐标传递到了顶面，建立起了顶面二维点和三维点之间的映射关系；同时高度的计算因为相机位置始终没变，所以直接计算两个面到相机光心的距离之差就可以得到高度。尽管上述流程讲述的是圆柱体，但实际上长方体、或者其他通过底面拉伸得到的旋转体都可以这样求其体积。

成果

该方法可用于药片体积测量，或者快递点长方形打包盒体积测量。